Если пересечь пирамиду плоскостью параллельной основанию то. Пирамида и усеченная пирамида. Сечение, параллельное основанию пирамиды

Как можно построить пирамиду? На плоскости р построим какой-либо многоугольник, например пятиугольник ABCDE. Вне плоскости р возьмем точку S. Соединив точку S отрезками со всеми точками многоугольника, получим пирамиду SABCDE (рис.).

Точка S называется вершиной , а многоугольник ABCDE - основанием этой пирамиды. Таким образом, пирамида с вершиной S и основанием ABCDE - это объединение всех отрезков , где М ∈ ABCDE.

Треугольники SAB, SBC, SCD, SDE, SEA называются боковыми гранями пирамиды, общие стороны боковых граней SA, SB, SC, SD, SE - боковыми ребрами .

Пирамиды называются треугольными, четырехугольными, п-угольными в зависимости от числа сторон основания. На рис. даны изображения треугольной, четырехугольной и шестиугольной пирамид.

Плоскость, проходящая через вершину пирамиды и диагональ основания, называется диагональной , а полученное сечение - диагональным. На рис. 186 одно из диагональных сечений шестиугольной пирамиды заштриховано.

Отрезок перпендикуляра, проведенного через вершину пирамиды к плоскости ее основания, называется высотой пирамиды (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).

Пирамида называется правильной , если основание пирамиды-правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в его центр.

Все боковые грани правильной пирамиды - конгруэнтные равнобедренные треугольники. У правильной пирамиды все боковые ребра конгруэнтны.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой пирамиды. Все апофемы правильной пирамиды конгруэнтны.

Если обозначить сторону основания через а , а апофему через h , то площадь одной боковой грани пирамиды равна 1 / 2 ah .

Сумма площадей всех боковых граней пирамиды называется площадью боковой поверхности пирамиды и обозначается через S бок.

Так как боковая поверхность правильной пирамиды состоит из n конгруэнтных граней, то

S бок. = 1 / 2 ahn = Ph / 2 ,

где Р - периметр основания пирамиды. Следовательно,

S бок. = Ph / 2

т. е. площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется по формуле

S = S ocн. + S бок. .

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания S ocн. на высоту Н:

V = 1 / 3 S ocн. Н.

Вывод этой и некоторых других формул будет дан в одной из последующих глав.

Построим теперь пирамиду другим способом. Пусть дан многогранный угол, например, пятигранный, с вершиной S (рис.).

Проведем плоскость р так, чтобы она пересекала все ребра данного многогранного угла в разных точках А, В, С, D, Е (рис.). Тогда пирамиду SABCDE можно рассматривать как пересечение многогранного угла и полупространства с границей р , в котором лежит вершина S.

Очевидно, что число всех граней пирамиды может быть произвольным, но не меньшим четырех. При пересечении трехгранного угла плоскостью получается треугольная пирамида, у которой четыре грани. Любую треугольную пирамиду иногда называют тетраэдром , что означает четырехгранник.

Усеченную пирамиду можно получить, если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной плоскости основания.

На рис. дано изображение четырехугольной усеченной пирамиды.

Усеченные пирамиды также называются треугольными, четырехугольными, n-угольными в зависимости от числа сторон основания. Из построения усеченной пирамиды следует, что она имеет два основания: верхнее и нижнее. Основания усеченной пирамиды - два многоугольника, стороны которых попарно параллельны. Боковые грани усеченной пирамиды - трапеции.

Высотой усеченной пирамиды называется отрезок перпендикуляра, проведенного из любой точки верхнего основания к плоскости нижнего.

Правильной усеченной пирамидой называется часть правильной пирамиды, заключенная между основанием и плоскостью сечения, параллельной основанию. Высота боковой грани правильной усеченной пирамиды (трапеции) называется апофемой .

Можно доказать, что у правильной усеченной пирамиды боковые ребра конгруэнтны, все боковые грани конгруэнтны, все апофемы конгруэнтны.

Если в правильной усеченной n -угольной пирамиде через а и b n обозначить длины сторон верхнего и нижнего оснований, а через h - длину апофемы, то площадь каждой боковой грани пирамиды равна

1 / 2 (а + b n ) h

Сумма площадей всех боковых граней пирамиды называется площадью ее боковой поверхности и обозначается S бок. . Очевидно, что для правильной усеченной n -угольной пирамиды

S бок. = n 1 / 2 (а + b n ) h .

Так как па = Р и nb n = Р 1 - периметры оснований усеченной пирамиды, то

S бок. = 1 / 2 (Р + Р 1) h ,

т. е. площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна половине произведения суммы периметров ее оснований на апофему.

Сечение, параллельное основанию пирамиды

Теорема. Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, то:

1) боковые ребра и высота разделятся на пропорциональные части;

2) в сечении получится многоугольник, подобный основанию;

3) площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины.

Теорему достаточно доказать для треугольной пирамиды.

Так как параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью по параллельным прямым, то (АВ) || (А 1 В 1), (BС) ||(В 1 C 1), (AС) || (A 1 С 1) (рис.).

Параллельные прямые рассекают стороны угла на пропорциональные части, и поэтому

$$ \frac{\left|{SA}\right|}{\left|{SA_1}\right|}=\frac{\left|{SB}\right|}{\left|{SB_1}\right|}=\frac{\left|{SC}\right|}{\left|{SC_1}\right|} $$

Следовательно, ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 и

$$ \frac{\left|{AB}\right|}{\left|{A_{1}B_1}\right|}=\frac{\left|{SB}\right|}{\left|{SB_1}\right|} $$

ΔSBC ~ ΔSB 1 C 1 и

$$ \frac{\left|{BC}\right|}{\left|{B_{1}C_1}\right|}=\frac{\left|{SB}\right|}{\left|{SB_1}\right|}=\frac{\left|{SC}\right|}{\left|{SC_1}\right|} $$

Таким образом,

$$ \frac{\left|{AB}\right|}{\left|{A_{1}B_1}\right|}=\frac{\left|{BC}\right|}{\left|{B_{1}C_1}\right|}=\frac{\left|{AC}\right|}{\left|{A_{1}C_1}\right|} $$

Соответственные углы треугольников ABC и A 1 B 1 C 1 конгруэнтны, как углы с параллельными и одинаково направленными сторонами. Поэтому

ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1

Площади подобных треугольников относятся, как квадраты соответствующих сторон:

$$ \frac{S_{ABC}}{S_{A_1 B_1 C_1}}=\frac{\left|{AB}\right|^2}{\left|{A_{1}B_1}\right|^2} $$

$$ \frac{\left|{AB}\right|}{\left|{A_{1}B_1}\right|}=\frac{\left|{SH}\right|}{\left|{SH_1}\right|} $$

Следовательно,

$$ \frac{S_{ABC}}{S_{A_1 B_1 C_1}}=\frac{\left|{SH}\right|^2}{\left|{SH_1}\right|^2} $$

Теорема. Если две пирамиды с равными высотами рассечены на одинаковом расстоянии от вершины плоскостями, параллельными основаниям, то площади сечений пропорциональны площадям оснований.

Пусть (черт. 84) В и В 1 - площади оснований двух пирамид, H - высота каждой из них, b и b 1 - площади сечений плоскостями, параллельными основаниям и удалёнными от вершин на одно и то же расстояние h .

Согласно предыдущей теореме мы будем иметь:

$$ \frac{b}{B}=\frac{h^2}{H^2}\: и \: \frac{b_1}{B_1}=\frac{h^2}{H^2} $$
откуда
$$ \frac{b}{B}=\frac{b_1}{B_1}\: или \: \frac{b}{b_1}=\frac{B}{B_1} $$

Следствие. Если В = В 1 , то и b = b 1 , т. е. если у двух пирамид с равными высотами основания равновелики, то равновелики и сечения, равноотстоящие от вершины.

Другие материалы

); showPlots(;0 noAxes0 );

Рис. 1.10: Прямоугольный Параллелепипед

1.3 Свойства параллельных сечений в пирамиде

1.3.1 Теоремы о сечениях в пирамиде

Если пирамида (1.11) пересечена плоскостью, параллельной основанию, то:

1) боковые ребра и высота делятся этой плоскостью на пропорциональные части;

2) в сечении получается многоугольник (abcde), подобный основанию;

3) площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины.

1) Прямые ab и AB можно рассматривать как линии пересечения двух параллельных плоскостей (основания и секущей) третьей плоскостью ASB; поэтому abkAB. По этой же причине bckBC,cdkCD.... и amkAM; вследствие этого

aA Sa = bB Sb = cC Sc = ::: = mM Sm :

2) Из подобия треугольников ASB и aSb, затем BSC и bSc и т. д. выводим:

AB ab = BS bS ; BS bS = BC bc ;

AB ab = BC bc :

BC bc = CS cS ; CS cS = CD cd ;

BC bc = CD cd

Так же докажем пропорциональность остальных сторон многоугольников ABCDE и abcde.Так как, сверх того, у этих многоугольников равны соответственные углы (как образованные параллельными и одинаково направленными сторонами), то они подобны. Площади подобных многоугольников относятся, как квадраты сходственных сторон; поэтому

AB ab = AS as = M msS ;

set2D(1; 9; 1; 14);

;0 dash0 );

;0 dash0 );

			Рис. 1.11: Пирамида
p5 = pointsPlot(

[ 0A 0; 0 B 0; 0 C 0; 0 D 0; 0 E 0; 0 a 0; 0 b 0; 0 c 0; 0 d 0; 0 M 0; 0 m 0; 0 S 0];

); showPlots(;0 noAxes0 );

1.3.2 Следствие

У правильной усеченной пирамиды верхнее основание есть правильный многоугольник, подобный нижнему основанию, а боковые грани суть равные и равнобочные трапеции (1.11).

Высота любой из этих трапеций называется апофемой правильной усеченной пирамиды.

1.3.3 Теорема о параллельном сечении в пирамиде

Если две пирамиды с равными высотами рассечены на одинаковом расстоянии от вершины плоскостями, параллельными основаниям, то площади сечений пропорциональны площадям оснований.

Пусть (1.12) B и B1 площади оснований двух пирамид, H высота каждой из них, b и b1 площади сечений плоскостями, параллельными основаниям и удаленными от вершин на одно и то же расстояние h.

Согласно предыдущей теореме мы будем иметь:

H2 B1

set2D(2; 36; 2; 23);

23 );

p10 = tablePlot(			;0 arrow0 );

p11 = tablePlot(			;0 arrow0 );

p12 = tablePlot(			;0 arrow0 );

p13 = tablePlot(			;0 arrow0 );

p14 = tablePlot(				;0 dash0 );

Вопрос:

Пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию. Площадь основания равна 1690дм2, а площадь сечения равна 10дм2. В каком отношении, считая от вершины, плоскость сечения делит высоту пирамиды?

Ответы:

паралельная плоскость осекает пирамиду подобную данной (h1/h)²=s1/s (h1/h)²=10/1690=1/169 h1/h=√1/169= 1/13 jndtn 1/13

Похожие вопросы

• Тест по теме: «Правописание наречий» Проверяем написание суффиксов наречий, раздельное и слитное написание не с наречиями, слитное, раздельное, дефисное написание наречий Вариант 1. 1. Раскрой скобки. Отметь «третий лишний»: а) сидел (не)подвижно; увидел (не)чаяно; пел (не)громко; б) ничуть (не)поздно; вовсе (не)красиво; очень (не)прилично; в) (не)по-дружески; (не)по-свойски; (не)правильно; г) (не)лепо; (не)доуменно; (не)близко, а далеко; д) крайне (не)принужденно; весьма (не)привлекательно; нисколько (не)угрожающе; 2. «Не» пишется слитно во всех словах ряда: а) (не)правда; (не)вежи; (не)приятно; ничуть (не)интересно; б) (не)доумевать; (не)справедливость; вовсе (не)далеко; (не)веселый; в) (не)искренно; (не)красив; (не)годуя; (не)взыскательный; г) (не)вежда; (не)приехав; (не)лепость; (не)вовремя; 3. Выдели ряд с отрицательными наречиями: а) нимало; никто; нигде; ни с кем; б) нигде; никто; никогда; ниоткуда; в) нисколько; ничуть; неоткуда; незачем; 4. Найди «третий лишний»: а) н…чуть не испугался; н…как не находил; н…сколько раз; б) н…куда пойти; н…зачем расспрашивать; н…сколько не завидуя; в) н…сколько не расстроился; н…когда не злился; н…откуда ждать; 5. «Нн» пишется во всех словах ряда: а) беше…о вертеться; говорил испуга…о; работал отчая…о; б) вздрогнул неожида…о; чертил квалифицирова…о; не работает време…о; в) говорил взволнова…о; ушел неожида…о; отвечал пута…о; 6. Определи предложение с наречием: а) Собрание взволнова…о сообщением. б) Общество было взволнова…о. в) Говорила она взволнова…о. В наречии пишется _____________________________________ 7. Вставь пропущенные буквы. Отметь «четвертый лишний»: а) горяч…; свеж…; блестящ…; хорош…; б) ещ…; певуч…; тягуч..; зловещ…; в) багаж…м; уж…м; нош…й; нож…м; г) бельч…нок; скворч…нок; череш…нка; еж…нок; 8. Выпиши буквы, обозначающие наречия, которые пишутся с суффиксами – а и – о: а о а) издалек…; б) занов…; в) наглух…; г) вправ…; д) добел…; е) запрост…; ж) смолод…; з) досух…; и) сызнов…; Запиши наречие, не имеющее суффиксов – а и – о: ______________________________ Вариант 2. 1. Раскрой скобки. Отметь «третий лишний»: а) ничуть (не)интересно; совершенно (не)интересно; далеко (не)весело; б) (не)по-приятельски; (не)по-нашему; (не)верно; в) (не)стройно; (не)приветливо; (не)хорошо, а плохо; г) читал (не)выразительно; глядел (не)доуменно; жил (не)далеко; д) очень (не)красиво; никогда (не)поздно; крайне (не)продуманно; 2. «Не» пишется слитно во всех словах ряда: а) (не)мало; (не)лепо; (не)вразумительно; (не)пряча; б) (не)брежно; (не)искренность; (не)красивый; (не)продуманный; в) далеко (не)весело; (не)захотел; (не)вдалеке; (не)приятность; г) (не)вовремя; (не)поседа; (не)сказав; (не)доверчиво; 3. Выдели ряд с отрицательными наречиями: а) ничем; ниоткуда; нигде; немало; б) нисколечко; незачем; никак; негде; в) нечем; никому; никем; никого; 4. Найди «третий лишний»: а) не было н…где; н…зачем спрашивать; н…когда был кучером; б) не задевали н…мало; н…сколько не горевал; н…где остановиться; в) н…куда не поеду; н…когда не спрошу; мне было н…когда; 5. «Н» пишется во всех словах ряда: а) на улице безветре…о; отвечая продума…о; пришел нежда…о-негада…о; б) говорил мудре…о; поступила ветре…о; говорила пута…о; в) вертелся беше…о; пел проникнове…о; работал увлече…о; 6. Определи предложение с наречием: а) Его решение обдума…о, профессионально. Б) Он всегда действует обдума…о. В) Все было тщательно обдума…о. 7. Вставь пропущенные буквы. Отметь «четвертый лишний»: а) говорить общ…; горяч…; свеж…; изнуряющ…; б) друж…к; ремеш…к; петуш…к; виш…нка; в) ещ…; протестующ…; вызывающ…; зловещ…; г) врач…м; стриж…м; печ…т; береж…т; 8. Впиши в клеточки буквы, обозначающие наречия, которые пишутся с суффиксами – а и – о: а о а) сначал…; б) смолод…; в) засветл…; г) влев…; д) начист…; е) докрасн…; ж) слев…; з) затемн…; и) издавн…; Запиши наречие, не имеющее суффиксов – а и – о: ______________________________

ГЛАВА ТРЕТЬЯ

МНОГОГРАННИКИ

1. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД И ПИРАМИДА

Свойства параллельных сечений в пирамиде

74. Теорема. Если пирамида (черт. 83) пересечена плоскостью, параллельной основанию, то:

1) боковые рёбра и высота делятся этой плоскостью на пропорциональные части;

2) в сечении получается многоугольник (abcde ), подобный основанию;

3) площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины.

1) Прямые ab и АВ можно рассматривать как линии пересечения двух параллельных плоскостей (основания и секущей) третьей плоскостью ASB; поэтому ab ||AB (§ 16). По этой же причине bc ||BC, cd ||CD, ... и ат ||АM; вследствие этого

Sa / a A = Sb / b B = Sc / c C = ... = Sm / m M

2) Из подобия треугольников ASB и a Sb , затем BSC и b Sc и т. д. выводим:

AB / ab = BS / bs ; BS / bs = BC / bc ,

AB / ab = BC / bc

BC / bc = CS / cs ; CS / cs = CD / cd откуда BC / bc = CD / cd .

Так же докажем пропорциональность остальных сторон многоугольников ABCDE и abcde . Так как, сверх того, у этих многоугольников равны соответственные углы (как образованные параллельными и одинаково направленными сторонами), то они подобны.

3) Площади подобиях многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон; поэтому

75. Следствие. У правильной усечённой пирамиды верхнее основание есть правильный многоугольник, подобный нижнему основанию, а боковые грани суть равные и равнобочные трапеции (черт. 83).

Высота любой из этих трапеций называется апофемой правильной усечённой пирамиды.

76. Теорема. Если две пирамиды с равными высотами рассечены на одинаковом расстоянии от вершины плоскостями, параллельными основаниям, то площади сечений пропорциональны площадям оснований.

Пусть (черт. 84) В и В 1 - площади оснований двух пирамид, H -высота каждой из них, b и b 1 - площади сечений плоскостями, параллельными основаниям и удалёнными от вершин на одно и то же расстояние h .

Согласно предыдущей теореме мы будем иметь:

77. Следствие. Если В = В 1 , то и b = b 1 , т. е. если у двух пирамид с равными высотами основания равновелики, то равновелики и сечения, равноотстоящие от вершины.